Problemer i sandsynligheden for matchende konvolutter

Problemer med matchende konvolutter bruges ofte når man underviser grundlæggende sandsynlighedsteori. For undervisere, disse problemer tilbyder en enkel, men effektiv illustration af nogle af de mere vigtige regler for sandsynlighed. Problemet kan blot angivet og letforståelige, men er ikke nødvendigvis let at løse, medmindre de studerende er bekendt med begreber som sandsynligheden for flere hændelser.

Grundlæggende Konvolut Problemer

Det grundlæggende kuvert Problemet er som regel en vis variation af følgende scenarie: en distræt person, skriver seks bogstaver og adresser seks matchende kuverter, men glemmer at sætte den rigtige bogstav i den tilsvarende kuvert. I stedet person simpelthen tilfældigt picks breve og sætter dem i kuverter uden at forsøge at matche dem. Den studerende bliver derefter bedt om at besvare nogle grundlæggende spørgsmål vedrørende sandsynligheden for placeringen af ​​bogstaverne.

Løsning for alle Konvolutter Matchende

Et spørgsmål ofte stillede er: hvad er sandsynligheden for, at alle konvolutterne modtage den korrekte matching brev? Hvis plukning af hvert bogstav for hver konvolut betragtes som en statistisk "begivenhed", dette kan besvares ved at følge den regel, at den samlede sandsynlighed for en sekvens af begivenheder er simpelthen produktet af deres individuelle sandsynligheder. Sandsynligheden for den første konvolut, der modtager det korrekte bogstav er 1/6, da der er seks bogstaver at vælge imellem, men kun én matchende én. Hvis den første kuvert får det korrekte bogstav, oddsene for det næste konvolut også at få det korrekte bogstav er 1/5, så 1/4 og så videre. Den kombinerede sandsynligheden er derefter 1/6 x 1/5 x 1/4 x 1/3 x 1/2 x 1/1 = 0,00139.

Løsning for mindst en match

En anden almindelig spørgsmål er: hvad er sandsynligheden for, at mindst én af konvolutterne vil have det korrekte bogstav i det? Dette er mere kompleks og kræver begrebet foreningen af ​​sandsynligheder. Foreningen af ​​to begivenheder A og B er chancen for enten A eller B forekommende og dets sandsynlighed: P (A eller B) = P (A) + P (B) - P (A og B). Ved at bruge lidt af matematik og udvide dette koncept til seks kuverter, kan du vise, at P (mindst 1 korrekt) = 1 - (1/2!) + (1/3!) - (! 1/4) + (1/5!) - (! 1/6), hvor n! = (N) (n-1) (n-2) ... (2) (1). Denne beregning giver en sandsynlighed på 0,632.

Variationer på kuverten Problem

Der er en række variationer af dette problem, som tilbyder forskellige scenarier, men som alle kan løses på tilsvarende måde. Én variant postulerer en gruppe af mennesker (det særlige antal mennesker varierer), og eleverne bliver bedt om at beregne sandsynligheden for, at ikke to mennesker har den samme fødselsdag, eller at alle har den samme fødselsdag. En anden variant er en dans, hvor der er en række af gifte par, der parre sig tilfældigt at danse, og sandsynligheden for, at hver kvinde vil danse med sin egen mand beregnes.